Aplatir une orange sans déchirer sa peau est impossible. C'est exactement le problème des cartographes : toute projection plane de la Terre déforme quelque chose. Tout l'art consiste à choisir ce que l'on accepte de sacrifier.
Le théorème qui change tout
Gauss l'a démontré en 1827 (Theorema Egregium) : une sphère ne peut pas être représentée sur un plan en conservant à la fois les distances, les angles et les surfaces. On peut au mieux conserver l'une de ces propriétés :
- Conforme : conserve les angles locaux, donc les formes des petits objets. Indispensable pour la navigation et la topographie.
- Équivalente : conserve les surfaces. Obligatoire pour comparer des aires ou faire des cartes de densité.
- Équidistante : conserve les distances depuis un point ou le long de certaines lignes.
- Aphylactique : ne conserve rien parfaitement mais minimise l'ensemble des déformations.
Les trois surfaces de projection
- Cylindriques (Mercator, UTM) : adaptées aux zones équatoriales ou à des bandes nord-sud étroites.
- Coniques (Lambert 93, Albers) : idéales pour les pays des latitudes moyennes, étendus d'est en ouest, comme la France.
- Azimutales (stéréographique polaire, LAEA) : parfaites pour les pôles ou une région centrée sur un point.
Le cas Mercator
Mercator (1569) est conforme : un cap constant y est une ligne droite, d'où son succès en navigation. Mais ses surfaces explosent vers les pôles. Le Groenland (2,2 millions de km²) y paraît aussi grand que l'Afrique (30 millions de km²).
Le Web Mercator (EPSG:3857) en est une version simplifiée (calculs sur une sphère), adoptée par tout le web mapping car elle permet un découpage en tuiles carrées. Elle est très bien pour afficher, mais jamais pour mesurer.
À la latitude de Paris, une distance mesurée naïvement en Web Mercator est surestimée d'environ 52 % (facteur 1/cos(48,85°) ≈ 1,52). Reprojetez toujours en Lambert 93 ou utilisez un calcul géodésique.
Lambert 93, le choix français
Lambert 93 est une projection conique conforme sécante : le cône coupe l'ellipsoïde le long de deux parallèles (44° N et 49° N) où l'échelle est exacte. Entre ces deux parallèles l'échelle est légèrement réduite, au-delà légèrement agrandie. L'altération linéaire reste comprise entre −1 et +3 m/km sur la métropole.
Pour les besoins topographiques plus exigeants, les 9 projections CC42 à CC50 découpent la France en bandes d'un degré de latitude, réduisant l'altération à moins de 0,1 m/km.
Comment choisir ?
| Besoin | Projection conseillée |
|---|---|
| Carte web interactive | Web Mercator (EPSG:3857) |
| Analyse et mesures en France | Lambert 93 (EPSG:2154) |
| Carte thématique de l'Europe | ETRS89-LAEA (EPSG:3035) |
| Planisphère grand public | Equal Earth, Robinson, Winkel-Tripel |
| Carte de densité mondiale | Mollweide ou Equal Earth (équivalentes) |
| Régions polaires | Stéréographique polaire |
Pour visualiser les déformations, superposez des indicatrices de Tissot (cercles identiques sur le globe) : leur aspect sur la carte révèle immédiatement ce qui est étiré ou comprimé. QGIS propose cette fonction via l'extension « Tissot Indicatrix ».
Démonstration
Les indicatrices de Tissot sur la projection de Mercator : sur le globe, tous les cercles rouges font 500 km de rayon.
À essayer : promenez la souris de l'équateur vers le Groenland : le cercle violet (1 000 km de rayon, toujours) gonfle, et le panneau donne le facteur d'agrandissement des longueurs et des surfaces à cette latitude.